Тождество это в математике

Тождество это в математике

Тождество – это равенство, обе части которого являются тождественно равными выражениями. Тождества делятся на буквенные и числовые.

Тождественные выражения

Два алгебраических выражения называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях букв они имеют одинаковую численную величину. Таковы, например, выражения:

Оба представленных выражения, при любом значении x будут равны друг другу, поэтому их можно назвать тождественными или тождественно равными.

Так же тождественными можно назвать и числовые выражения, равные между собой. Например:

Буквенные и числовые тождества

Буквенное тождество – это равенство, которое справедливо при любых значениях входящих в него букв. Другими словами, такое равенство, у которого обе части являются тождественно равными выражениями, например:

Числовое тождество – это равенство, содержащее только числа, выраженные цифрами, у которого обе части имеют одинаковую численную величину. Например:

4 + 5 + 2 = 3 + 8
5 · (4 + 6) = 50

Тождественные преобразования выражений

Все алгебраические действия представляют собой преобразование одного алгебраического выражения в другое, тождественное первому.

При вычислении значения выражения, раскрытии скобок, вынесении общего множителя за скобки и в ряде других случаев одни выражения заменяются другими, тождественно равными им. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения. Все преобразования выражений выполняются на основе свойств действий над числами.

Рассмотрим тождественное преобразование выражения на примере вынесения общего множителя за скобки:

Выполнение данного преобразования основано на распределительном законе умножения.

Тождество в математике — равенство, имеющее место при всех значениях букв в него входящих, напр. (а + b)(а b) = а2 b2, (а + b)2 = а2 + 2ab + b2 и т. п. Равенство x + 2 = 5 имеет место не при всяком значении x, а только при x = 3. Такое равенство не есть тождество; оно… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Читайте также:  Почему банки не принимают доллары с печатью

тождество — ТОЖДЕСТВО, а и ТОЖЕСТВО, а, ср. 1. Полное сходство, совпадение. Т. взглядов. 2. (тождество). В математике: равенство, справедливое при любых числовых значениях входящих в него величин. | прил. тождественный, ая, ое и тожественный, ая, ое (к 1… … Толковый словарь Ожегова

ТОЖДЕСТВО — понятие, выражающее предельный случай равенства объектов, когда не только все родовидовые, но и все индивидуальные их свойства совпадают. Совпадение родовидовых свойств (сходство), вообще говоря, не ограничивает числа приравниваемых… … Философская энциклопедия

ТОЖДЕСТВО — отношение между объектами (предметами реальности, восприятия, мысли), рассматриваемыми как одно и то же ; предельный случай отношения равенства. В математике тождество это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для… … Большой Энциклопедический словарь

ТОЖДЕСТВО — англ. >Энциклопедия социологии

Тождество (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Тождество. Тождество (в математике) равенство, выполняющееся на всём множестве значений входящих в него переменных (равенство, верное при любых значениях переменных), например: ,… … Википедия

тождество — а; ср. 1. Полное сходство, подобие предметов, явлений и т.п. Т. взглядов, рассуждений. Т. условий материального благосостояния с предъявляемыми требованиями. Закон тождества (один из основных законов формальной логики, согласно которому… … Энциклопедический словарь

тождество — отношение между предметами (реальными или абстрактными), которое позволяет говорить о них как о неотличимых друг от друга, в какой то совокупности характеристик (напр., свойств). В действительности все предметы (вещи) обычно отличаются нами друг… … Словарь терминов логики

Тождество — основное понятие логики, философии и математики; используется в языках научной теорий для формулировки определяющих соотношений, законов и теорем. В математике Т. это Уравнение, которое удовлетворяется тождественно, то есть… … Большая советская энциклопедия

Читайте также:  Ходатайство о рассрочке исполнения решения суда образец

Тождество — I ср. 1. Абсолютное совпадение с кем либо или с чем либо как в своей сущности, так и во внешних признаках и проявлениях; одинаковость. 2. Точное соответствие чего либо чему либо. II ср. Равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

Тождество — это равенство верное при любых допустимых значениях входящих в его состав переменных.

Вы уже познакомились со множеством тождеств, например, формулы сокращенного умножения:

a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) ;

a 2 − 2 a b + b 2 = ( a − b ) 2 ;

a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 и др.

Всякую замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

Для тождественных преобразований можно использовать формулы
сокращенного умножения, законы арифметики и др. тождества. Например,
вынесение общего множителя за скобку и формулу разность квадратов, как в примере ниже:

x 3 − x y 2 = x ( x 2 − y 2 ) = x ( x − y ) ( x + y ) .

Приведенные выше алгебраические выражения тождественно равны
друг другу и обращаются в верное числовое равенство при любых
значениях переменных x и y .

Выполним тождественные преобразования и сократим
алгебраическую дробь

x 3 − x
x 2 − x

.

x 3 − x
x 2 − x

=

x ( x 2 − 1 )
x ( x − 1 )

=

x ( x − 1 ) ( x + 1 )
x ( x − 1 )

= ( x + 1 ) ;

x 3 − x
x 2 − x

= ( x + 1 ) .

Мы получили тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения) ,
так как знаменатель левой части не должен быть равен нулю.

x 2 − x ≠ 0 ; x ( x − 1 ) ≠ 0 ; х ≠ 0 и х ≠ 1 .

Чтобы доказать тождество надо выполнить тождественные
преобразования одной или обеих частей равенства, и получить слева
и справа одинаковые записи алгебраических выражений.

Например, докажем тождество:

x 3 − x
x 2 − x

=

x 2 + x
x
x ( x 2 − 1 )
x ( x − 1 )

=

x ( x + 1 )
x

— вынесли х за скобки ;

x 2 − 1 2
x − 1

= x + 1 — сократили на х ;

( x − 1 ) ( x + 1 )
x − 1

= x + 1 — разность квадратов ;

x + 1 = x + 1 — сократили на x − 1 .

Данное равенство является тождеством, при х ≠ 0 и х ≠ 1 .

Чтобы доказать, что равенство не является тождеством,
достаточно найти одно допустимое значение переменной, при которой
получившиеся числовые выражения будут не равны друг другу.
Читайте также:  Получение ветерана труда в вологодской области
x 2 − x
x

=

x 2 + x
x

— х ≠ 0 ;

x − 1 = x + 1 — сократим на х для удобства ;

5 − 1 ≠ 5 + 1 — подставим, например 5 .

Данное равенство не является тождеством.

Ссылка на основную публикацию
Стояк горячего водоснабжения в многоквартирном доме
Краткое содержание Скажите пожалуйста что значит перекрытие стояка общего пользования системы ГВС. Образец акта о замене стояка хвс и гвс...
Сроки возврата ндс после камеральной проверки
Основные моменты при возмещении Ситуации, позволяющие получить возмещение НДС, могут возникать не только у экспортеров, но и у тех налогоплательщиков,...
Сроки выдачи загранпаспорта нового образца через госуслуги
Сегодня через портал Госуслуги можно подать документы и получить загранпаспорт. Какого образца нужен документ: старого или нового, значения не имеет....
Стоянка автомобиля у пешеходного перехода
Из-за большого количества машин на дорогах водителям сейчас становится все сложнее выбрать место для парковки или остановки. Некоторым автовладельцам кажется,...
Adblock detector